<html>
  <head>
    <meta content="text/html; charset=windows-1252"
      http-equiv="Content-Type">
  </head>
  <body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000">
    Interesting question.<br>
    <br>
    Let E : y^2 = x^3 + a*x + b be an elliptic curve and E' : Y^2 = X^3
    + d^2*a*x + d^3*b be its quadratic twist.  The primality of E( F_q )
    and E'( F_q ) are not independent events!!  Indeed, far from it.  <br>
    <br>
    Look at this magma run:<br>
    <br>
    > p := NextPrime( Random(500)); for X := 1 to 20 do print
    IsPrime( p + 1 + X), "  ", IsPrime( p + 1 - X ); end for;<br>
    false    true<br>
    false    false<br>
    false    false<br>
    false    false<br>
    true    true<br>
    false    false<br>
    false    true<br>
    false    false<br>
    false    false<br>
    false    false<br>
    true    true<br>
    false    false<br>
    true    false<br>
    false    false<br>
    false    false<br>
    false    false<br>
    false    true<br>
    false    false<br>
    true    true<br>
    false    false<br>
    <br>
    Try it yourself.  Use sage if you prefer.   Be amazed at the magic
    of mathematics.<br>
    <br>
    Some sort of vague explanation is given in the paper:<br>
    <br>
    S. D. Galbraith, J. F. McKee, The probability that the number of
    points on an elliptic curve over a finite field is prime, Journal of
    the London Mathematical Society, 62, no. 3, p. 671-684 (2000) <br>
    <br>
    pdf is on my webpage.<br>
    <br>
    This does not fully answer your question.  But somehow the answer
    should vaguely be that the distribution for "nearly prime order of
    E" and "nearly prime order of both E and its twist" are not so
    different.<br>
    <br>
      Steven<br>
    <br>
    <br>
    <br>
    <div class="moz-cite-prefix">On 13/11/14 06:22, David Leon Gil
      wrote:<br>
    </div>
    <blockquote
cite="mid:CAA7UWsVB6+i7wZFYVQvmBXgBdH1+uSDJP3WA54+SfPL0Bna60g@mail.gmail.com"
      type="cite">
      <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;
        charset=windows-1252">
      Question:
      <div><br>
      </div>
      <div>What is the distribution induced on the trace of
        Frobenius by choosing a curve such that its twist has nearly
        prime order?<br>
        <div><br>
        </div>
        <div>(I.e., is it any different from the distribution induced by
          choosing a curve parameter at random, which -- as I understand
          it -- is the Sato-Tate distribution?)</div>
      </div>
      <br>
      <fieldset class="mimeAttachmentHeader"></fieldset>
      <br>
      <pre wrap="">_______________________________________________
Curves mailing list
<a class="moz-txt-link-abbreviated" href="mailto:Curves@moderncrypto.org">Curves@moderncrypto.org</a>
<a class="moz-txt-link-freetext" href="https://moderncrypto.org/mailman/listinfo/curves">https://moderncrypto.org/mailman/listinfo/curves</a>
</pre>
    </blockquote>
    <br>
  </body>
</html>