<div dir="ltr"><div><div>Hi Curves Fans,<br><br></div>I will shut up after this post, and get back to calculating and writing. <br><br></div><div>Whether you call it a shear transformation, a distortion map, or a symplectomorphism, we can all agree about Jacobian coordinate-transformation matrices, which are trivial to calculate. In Craig Costello's preferred examples 4.5 & 4.6, the Jacobians belong to the unitary group U(2) but not to the special unitary group SU(2), indicating that the transformation permutes real and complex time axes [1]. Planar shear transformations in general belong to both SU(2) and U(2). This puts one of my preferred examples into an altogether different class [2]. But it is like Costello's type 1, where the "distortion map" immediatly provides a group isomorphism. <br><br>Conjecture. Super-singularity is not essential. We can look for a group of order 2*p, with prime p. Ignore the coset by C_2. Distinct addition rules generate disjoint order-p subgroups from appropriately chosen initial conditions. Isomorphism between groups G1 and G2 involves a linear intersection geometry. For g1~g2 with points in the cubic basis, a line passes through g1^(-1), g2^(-1), and the quartic identity, usually chosen (0,1). <br><br>~~~~~<br><br>Ex. 1. Prime 101, group C_{29}. <br>n*101 = -16 + 16* (x^2 + y^2) - 64 *x^4 . <br>n*101 = -16 + 16* (x^2 + y^2) - 64 x^2 y . <br>( see [3] : <a href="https://ptpb.pw/GRdL.png">https://ptpb.pw/GRdL.png</a> )<br>============================<br>{n}P: {{13, 94}, {5, 19}, {60, 3}, {27, 64}, {92, 16}, {72, 13}, {55, 35}, {98, 84}, {49, 30}, {80, 91}, {4, 42}, {32, 36}, {77, 87}, {1, 4}, {100, 4}, {24, 87}, {69, 36}, {97, 42}, {21, 91}, {52, 30}, {3, 84}, {46, 35}, {29, 13}, {9, 16}, {74, 64}, {41, 3}, {96, 19}, {88, 94}, {infty, 0}} .<br>[n]P: {{66, 7}, {10, 37}, {85, 88}, {43, 34}, {73, 14}, {54, 10}, {56, 65}, {17, 2}, {34, 17}, {89, 38}, {63, 66}, {71, 25}, {40, 26}, {50, 50}, {51, 50}, {61, 26}, {30, 25}, {38, 66}, {12, 38}, {67, 17}, {84, 2}, {45, 65}, {47, 10}, {28, 14}, {58, 34}, {16, 88}, {91,37}, {35, 7}, {0, 1}} .<br></div><div> <br></div><div>Set P1 = {13,94} and P2 = {66,7}. The line joining inverses is: 7 + y = 8 + 55*x. Does it visit {0,1}? Yes, True.<br></div><div><br></div><div>Ex. 2. Same Curve, but with prime 223 and group C_{59}. D.I.Y. !<br></div><div><br>~~~~~<br><br></div><div>I can't see a reason to doubt that these relations will generalize to higher prime fields, and think that a proof could probably be written. Not sure if anything practical will follow, but interested to hear thoughts on this question from anyone who intricately knows the encryption algorithms. Are examples such as these of any interest to practising cryptographers?<br><br></div><div>Cheers, <br><br></div><div>Brad <br></div><div><br></div><div>[1] <a href="http://www.craigcostello.com.au/pairings/PairingsForBeginners.pdf">http://www.craigcostello.com.au/pairings/PairingsForBeginners.pdf</a><br>[2] <a href="https://www.youtube.com/watch?v=FUw4LB5v4Os">https://www.youtube.com/watch?v=FUw4LB5v4Os</a><br>[3] <a href="https://ptpb.pw/GRdL.png">https://ptpb.pw/GRdL.png</a><br><br><br></div><div><br></div></div>